商务统计学基础 | 第三章 假设检验：关于均值的假设检验问题

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前面几节已经对假设检验的基本思想、典型的均值单边（One-Sided）和双边（Two-Sided）假设检验问题的技术细节做了探讨。今天，我们尝试将类似的思想做一些推广，探讨其他一些假设检验问题，包括：（1）双样本检验（Two-Sample Test），（2）方差检验（Variance Test），以及（3）双单边检验（Two One-Sided Test）。这些检验都能够应用在什么场景？数学表达是什么样的？具体的技术细节又是什么？学习本节后，相信你会有充分的了解。

双样本检验

本章3.4节对单个总体的均值假设检验问题进行了讨论。但生活中，有时我们关心的不是单个总体，而是希望对两个总体的参数进行对比分析。以均值为例，记随机变量X和随机变量Y服从的总体均值分别为和，且两个总体相互独立。如果希望知道是否显著大于，这就产生了一个新的假设检验问题H0： v.s. H1：，这仍然是一个单边假设检验问题，但是涉及两个总体。如果关心两个总体的均值是否存在显著差异，这就产生了一个新的假设检验问题H0： v.s.  H1：，这仍然是一个双边假设检验问题，但是也涉及两个总体。日常生活中像这样的问题比比皆是，请看以下案例。

案例1：临床试验。假设某药企研发了一款降压药物，准备向药监局提出上市申请。申请之前，药企一定要用该药物进行多期的临床试验，以证明药物有效。药物有效意味着什么呢？意味着服用该药物的病人的平均血压比服用安慰剂的病人的平均血压要低。如何证明药物有效呢？需要将病人分为两组，一组是对照组，一组是治疗组，然后进行对照试验。给对照组的病人使用安慰剂，给治疗组的病人使用该新款降压药物，然后控制服药频率等其他因素都相同。病人的血压是一个随机变量，因为它因人而异，与个人体质、生活方式等都有关系，具有很大的不确定性。记治疗组病人的血压为X，且X服从均值为的某未知分布。记对照组病人的血压为Y，且Y服从均值为的某未知分布。药物是否有效的问题就转换成了一个单边假设检验问题，即 H0:  v.s.  H1： ，为了解决这个问题，需要从治疗组总体和对照组总体各自收集一些样本，构成两个独立样本，然后在两个独立样本的帮助下对两个总体的均值差异作假设检验。

案例2：精准广告。 想要实现精准广告，广告平台需要做的不仅仅是根据用户的兴趣分类投放广告，还需要在广告的具体内容上花心思。例如广告的文案、标题、图片等等都有可能影响广告的点击率。以今日头条为例，假设在某个广告正式投放前，工作人员设计了两个不同版本的标题和文案。在正式投放之前，需要进行A/B测试。简单地说就是将一大组用户样本随机地分成两组（A组和B组），然后对A、B两组用户投放不同的广告，观察两组用户的点击行为是否存在显著差异。用户是否点击广告是一个0-1型的随机变量，因为这是因人而异的，所有具有很强的不确定性。广告平台更关心的应该是随机变量的均值，也就是用户的点击率。记A组用户是否点击广告为X，而X服从均值为的某未知分布。记B组用户是否点击广告为Y，而Y服从均值为的某未知分布。两组用户的点击率是否存在显著差异的问题，就转换成了一个双边假设检验问题，即H0:  v.s.  H1：。为了解决这个问题，需要从两组用户的总体各自收集一些样本，构成两个独立样本，然后在两个独立样本的帮助下对两个总体的均值差异作假设检验。

以上案例表明生活中经常需要对两总体的均值差异作假设检验，其中既包括单边假设检验问题，也包括双边假设检验问题。这需要从两总体中各自收集一些样本，构成两个独立样本，然后进行假设检验。具体怎么实现呢？接下来将做详细讨论。首先考虑单边假设检验的情况。两样本的单边假设检验问题包含两种形式，第一种是H0： v.s.  H1：，第二种是H0： v.s.  H1：。其实这两种形式在数学上是等价的。例如假设我们关心的假设检验问题是H0：  v.s. H1：，其中，。此时可以重新定义两个新的随机变量，，而，。那么原来的假设检验问题就可以被完全等价地表达为：H0： v.s.  H1：。因此两种单边假设检验问题在数学上完全等价。为了简单呈现，在接下来的问题中，我们将集中精力讨论其中一种。具体而言，将以第一种形式H0： v.s.  H1：为例作详细讨论。在这个问题下，决策者先默认原假设H0：成立，然后从均值为的总体中抽取一批样本，从均值为的总体中抽取一批样本。由此可见，来自两个总体的样本量分别是n和m。样本均值和分别是和的良好的点估计，那么也是的一个良好的点估计。请注意，从理论上讲，是的一个相合估计（Consistent Estimator）。当样本量足够大时，与的差距不会非常大。此时，如果原假设H0：真的成立，那么也会有较大的可能性成立，或者至少来说，不会比0小很多。反之，如果比0小很多，那么就有理由怀疑原假设不成立，从而推翻原假设，接受对立假设H1。因此人们很容易形成一种决策规则，那就是：当时，接受原假设H0；否则接受对立假设H1。3.4节中已经介绍过，的取值是可以人为操控的，因为它受到单位也就是的估计精度的影响。因此不应该绝对地看的取值，而应该相对地看，与的估计精度对比着看。更科学的一种表示方式是找到一个能够消除的估计精度影响的检验统计量。如何消除估计精度的影响呢？可以计算的标准误差SE。在两个总体相互独立的假设下，可以计算SE如下：注意由于两样本相互独立，所以与相互独立。因此很自然地，一个衡量的相对大小的统计量被构造出来了，那就是：其中是关于的矩估计，而是关于的矩估计（参考2.1节）。方便起见，我们称t为检验统计量。可以立刻验证一下，t是不受的单位影响的。因此，一个更加科学的决策规则是时接受原假设H0，反之时接受对立假设H1。请注意这里的c与前面的中的c一定不一样。至此，我们已经构造出了可以用于检验的统计量，接下来需要讨论的是c如何选取。与3.4节的思想一样，犯第一类错误的概率应该优先得到控制，例如不要大于某一个预设的值（或1%或10%）。在能满足犯第一类错误的概率被有效控制的前提下，c应该取得越大越好，这样才能极大化对立假设H1被接受的机会。请注意，在原假设成立的情况下，此时有无穷多种的可能性（例如,等）。为保守起见，只需要考虑最有可能犯第一类错误的情形。在什么情况下最有可能犯第一类错误呢？回想一下，第一类错误是指H0正确，但是错误地接受了H1，也就是发生了 从而拒绝H0接受了H1的情况。显然越小，也越有可能更小，因此也就更有可能发生 。在原假设成立的情况下，什么时候这个概率最大呢？当然是最小的时候，也就是的时候。因此，我们只要控制时犯第一类错误的概率不要大于，那么当时，犯第一类错误的概率更不可能大于。所以在接下来的讨论中，我们将假设。根据中心极限定理， 随样本量n和m的增大渐近服从标准正态分布。于是在的假设下，犯第一类错误的概率可以近似计算如下：和前面一样，表示标准正态分布的分位数。如前所述，在保证犯第一类错误的概率得到控制的前提下，c的取值越大越好，这样才能让对立假设H1有更高的机会被接受。因此我们会设定。请注意，只要，就是一个负数。最后将上述讨论变成一个规范的假设检验决策规则为：如果 ，接受原假设H0：；反之如果 ，接受对立假设H1：。单边假设检验问题已经解决了，下面继续考虑双边假设检验问题。解决双边假设检验问题的步骤与单边假设检验问题类似。决策者先默认原假设H0：成立，然后从均值为的总体中抽取一批样本，从均值为的总体中抽取一批样本，假设两个总体相互独立，因此两组样本相互独立，然后根据样本决定是否要推翻原假设H0。如果原假设H0：真的成立，那么与0的差异大概率不会很大；反之如果与0的差异很大，就有理由怀疑原假设不成立，从而推翻原假设，接受对立假设H1。因此人们很容易形成一种决策规则，那就是的绝对值 时，接受原假设H0；反之当时接受对立假设H1。与单边假设检验相似，更科学的一种表示方式是使用检验统计量 ，因为它消除了的估计精度的影响。一个更加科学的决策规则是时接受原假设H0，反之时接受对立假设H1。请注意这里c与前面的中的c不一样。
如何确定c的值呢？仍然应该优先控制犯第一类错误的概率，例如不要大于某一个预设的值（或1%或10%）。在能满足犯第一类错误的概率被有效控制的前提下，c应该取得越小越好，这样才能极大化对立假设H1被接受的机会。根据中心极限定理， 随样本量n和m的增大渐近服从标准正态分布。于是在 的假设下，犯第一类错误的概率可以近似计算如下：如前所述，在保证犯第一类错误的概率得到控制的前提下，c的取值越小越好，这样才能让对立假设H1有更多的机会被接受，因此我们会设定。于是，关于均值的双边假设检验问题的一个规范的假设检验决策规则为：如果，也就是，则接受原假设H0：；反之如果，也就是 或 ，接受对立假设H1：。这就是双样本的假设检验过程。

方差检验

前面一直都在讨论关于均值的假设检验问题，而接下来我们将研究一下方差。值得一提的是，方差也是一个非常重要的参数，在现实中有很多重要应用。两个简单的案例如下：

案例1：金融风险。 在投资时，超额收益必然伴随着风险。一个优秀的投资人应该对投资标的物的风险做出合理评估。以股票投资为例，对于如何量化股票的风险，许多学者已经提出了各种方法。在所有这些方法中，诺贝尔奖获得者马科维茨的均值方差理论应该是最重要的方法之一。在该理论中，投资股票的风险是用收益率的方差来度量的。假设投资人正在考虑是否要投资贵州茅台股票，并且选择了用日度收益率的方差来度量风险，那么他可能希望知道：该股票的日度收益率方差是否小于某个值（比如：），如果小于这个值，他才会选择投资。假设贵州茅台的日度收益率为X，而X是一个随机变量，因为它每天都会波动，具有不确定性。用表示X的总体方差。这就产生了一个新的假设检验问题：H0：  v.s.  H1： 。投资人无法知道的真值是多少，所以需要收集一段时间的贵州茅台日度收益率的样本，计算出样本方差 ，然后通过严格的假设检验来进行推断。

案例2：质量控制。 工业生产中，对产品进行质量控制是一个重要的环节。考虑某生产线生产某种产品（例如罐装牛奶），该产品的标准重量应该是200g。但是实际生产过程中不可能毫无误差。事实上，一定的误差是完全可以接受的，但是需要将误差控制在一定范围内。如果产品重量的方差很大，就说明产品重量的误差较大，生产线工艺技术需要提高。假设某个生产线上的产品的重量为X，而X是一个随机变量，因为每个产品的质量可能存在一定随机误差，具有不确定性。用表示X的总体方差。显然越小，说明生产线的稳定性越好。假设质检员希望知道是不是小于某个值（比如：），如果小于这个值，生产线才算是安全可靠的；否则就需要进行检修。这就产生了一个新的假设检验问题：H0：  v.s.  H1：。质检员无法知道的真值是多少，所以需要收集部分产品样本，计算出样本产品重量的方差，然后通过严格的假设检验来进行推断。

以上案例表明生活中有时需要对总体方差作假设检验。简单起见，这里先考虑单边假设检验的情况。方差的单边假设检验问题有两种形式。第一种形式是H0： v.s.  H1：。第二种形式是H0：  v.s.  H1：。这两种形式在数学推导上是非常相似的。为了简单呈现，接下来将集中精力讨论其中一种形式。具体而言，我们将以H0：  v.s.  H1： 为例展开讨论。在这个问题下，决策者先默认原假设H0： 成立，然后从方差为的总体中抽取一批样本，并计算其样本方差 ，根据判断是否需要推翻原假设。从理论上讲样本方差是的一个相合估计，因此样本量足够大时与的差距不会非常大。如果原假设H0：真的成立，那么就有较大的可能性成立。反之如果发现比小很多，就有理由怀疑原假设不成立，从而推翻原假设，接受对立假设H1。因此一种可能的决策规则是： 时，接受原假设H0，否则接受对立假设H1。但是这个规则合理吗？可能有一定的合理性，但并不是最好的选择。考虑一个例子 ，假设，请问这个差距大吗？这个问题不好回答，因为这很依赖于的大小。如果，那么10是一个较大的差距。相反，如果，那么10是一个很小的差距。这说明，对和直接求绝对差异并不是一个很好的选择，因为它忽略了方差只能是正数这一基本事实。因此一个更好的选择可能是看与的相对差异，也就是：。如果原假设H0： 真的成立，那么就有较大的可能性成立。如果原假设H0： 真的成立，那么就有较大的可能性成立，或者至少不会比1小很多。反之如果比1小很多，就有理由怀疑原假设不成立，从而推翻原假设，接受对立假设H1。因此很容易形成一种决策规则，那就是 时，接受原假设H0，否则接受对立假设H1。这里的核心问题是：c应该如何设定？如何确定c的值呢？犯第一类错误的概率应该优先得到控制，例如不要大于某一个预设的值（或1%或10%）。在能满足犯第一类错误的概率被有效控制的前提下,c应该取得越大越好，这样才能极大化对立假设H1被接受的机会。请注意，在原假设成立的情况下，此时有无穷多种可能性（例如，等）。为保守起见，我们只考虑最有可能犯第一类错误的情形。在什么情况下最有可能犯第一类错误呢？第一类错误是指H0正确，但是错误地接受了H1，也就是发生了 从而拒绝H0接受了H1的情况。显然越小，也越有可能更小，也就更有可能发生。在原假设成立的情况下，什么时候这个概率最大呢？当然是最小的时候，也就是时。因此，我们只要控制时犯第一类错误的概率不要大于，那么当时，犯第一类错误的概率更不可能大于。所以在接下来的讨论中，我们将假设。为此我们需要研究一下，也就是的分布。其实可以严格证明，当样本量足够大时，仍然近似服从一个正态分布（不是标准正态分布）。原因很简单，那就是中心极限定理在起作用。但是这并不是人们最常用的方法，一个更常用的（但也许不是最好的）方法是：假定X服从正态分布。在这个正态分布的假定下，根据第2.4节的内容，可以知道服从自由度为n-1的卡方分布。这说明当 时， 服从自由度为n-1的卡方分布。因此可以构造一个检验统计量为那么，犯第一类错误的概率可以计算如下：对于一个给定的显著性水平，为了将犯第一类错误的概率控制在以内，需要，其中是自由度为n-1的卡方分布的分位数。如前所述，在保证犯第一类错误的概率得到控制的前提下，c的取值越大越好，这样才能让对立假设H1有更高的机会被接受。因此我们会设定。最后将上述讨论变成一个规范的假设检验决策规则为：如果 ，则接受原假设H0：；反之如果，则接受对立假设H1：。以上讨论的是单个总体的方差假设检验问题。同均值问题相似，许多实际工作中，人们常常希望对两个总体的方差进行对比分析，例如对比两只股票的风险大小。数学上，记随机变量X和随机变量Y服从的总体方差分别为和，且假设两个总体相互独立。简单起见，这里仅考虑单边假设检验的情况。如果希望知道是否显著大于，就产生了一个新的假设检验问题H0：  v.s.  H1：，这仍然是一个单边假设检验问题，但是涉及两个总体。日常生活中像这样的问题并不少见，请看以下案例。

案例1：金融风险。 接着前面股票风险的案例，再考虑另一种情况：投资人手中持有五粮液的股票，正在考虑是否要抛售，改投贵州茅台的股票。因为在过去一段时间里，他发现两只股票的均值相似，但是方差似乎不同。但观察到的方差上的不同是不是一个偶然现象？不得而知。因此他想做一个严格的统计学检验，以判断贵州茅台股票的风险是否比五粮液股票的风险要小。仍然假设贵州茅台的日度收益率为X，用表示X的总体方差。另外再假设五粮液的日度收益率为Y，用表示Y的总体方差。这又产生了一个新的假设检验问题：H0：  v.s.  H1：。投资人无法知道和的真值 和 分别是多少，因此需要收集一段时间内两只股票的日度收益率样本，计算出样本方差和，然后通过严格的假设检验来进行推断。

案例2：质量控制。 接着前面产品质量控制的例子，再考虑另一种情况：除了前面提到的生产线，工厂中另外还有一条改良后的生产线。质检员希望知道改良后的生产线是否比原先的生产线所生产的产品重量更稳定。仍然假设原先生产线上的产品的重量为X，用表示X的总体方差。假设改良后的生产线上的产品重量为Y，Y也是一个随机变量，用表示Y的总体方差。这又产生了一个新的假设检验问题：H0：  v.s.  H1：。质检员无法知道和的真值 和 分别是多少，因此需要收集一段时间内两条生产线上的产品样本，计算出它们重量的样本方差和，然后通过严格的假设检验来进行推断。

以上案例表明，生活中有时会出现需要对两总体的方差作假设检验的问题。这需要从两总体中各自收集一些样本，构成两个独立样本，然后进行假设检验。具体怎么实现呢？接下来将做详细讨论。为简单起见，仍然只考虑单边假设检验的情况。这包含两种形式，一种是H0： v.s.  H1：；另一种是H0：  v.s.  H1：。这两种形式在数学上的推导是非常相似的。为了简单呈现，在接下来的问题中，我们将集中精力讨论其中一种。具体而言，我们将以第一种形式H0： v.s.  H1： 为例作详细讨论。在这个问题下，决策者先默认原假设H0：成立，采用与前面单样本情况类似的思路，将原假设转化为。然后从方差为的总体中抽取一批样本，从方差为的总体中抽取另一批样本。由此可见，来自两个总体的样本量分别是n和m。样本方差和分别是和的良好的点估计，当样本量足够大时与的差距不会非常大。如果原假设H0：真的成立，那么就有较大的可能性成立，或者至少不会比1小太多。反之如果比1小很多，就有理由怀疑原假设不成立，从而推翻原假设，接受对立假设H1。因此很容易形成一种决策规则，那就是时，接受原假设H0，否则接受对立假设H1。这里的核心问题是：c应该如何设定？如何确定c的值呢？犯第一类错误的概率应该优先得到控制，例如不要大于某一个预设的值（或1%或10%）。在能满足犯第一类错误的概率被有效控制的前提下，c应该取得越大越好，这样才能极大化对立假设H1被接受的机会。请注意，在原假设成立的情况下，此时有无穷多种的可能性（例如, 等）。为保守起见，我们只考虑最有可能犯第一类错误的情形。在什么情况下最有可能犯第一类错误呢？第一类错误是指H0正确，但是错误地接受了H1，也就是发生了从而拒绝H0接受了H1的情况。显然越小，也越有可能更小，也就更有可能发生。在原假设成立的情况下，什么时候这个概率最大呢？当然是最小的时候，也就是时。因此，我们只要控制时犯第一类错误的概率不要大于，那么当时，犯第一类错误的概率更不可能大于。所以在接下来的讨论中，我们将假设。很显然，我们需要研究一下的分布。在成立的假设下它服从什么分布呢？可以再一次通过严格证明得到：当样本量足够大时，它近似服从正态分布（不是标准正态分布）。理由很简单，中心极限定理在起作用。但是遗憾的是，这并不是最常用的方法。最常用的（但也许不一定是最好的）假设检验方法会假定X和Y都服从正态分布。在这种假定下，的一个变换服从一个自由度为（n-1，m-1）的F分布，其概率密度函数如下：其中。因此对于一个给定的临界值c，犯第一类错误的概率可以计算如下：因此有，其中 是自由度为n-1和m-1的F分布的分位数。如前所述，在保证犯第一类错误的概率得到控制的前提下，c的取值越大越好，这样才能让对立假设H1有更高的机会被接受。因此我们会设定。最后将上述讨论变成一个规范的假设检验决策规则为：如果，接受原假设H0：；反之如果，接受对立假设H1：。

双单边检验

不知道你是否注意到了，前面谈到的各种假设检验问题，等号都出现在原假设中。这有可能给大家造成一个错觉，认为等号必须出现在原假设中，甚至原假设就是等号假设，等号假设就是原假设。这里希望通过一个基于真实应用的重要的假设检验问题告诉大家，这是错误的。等号与原假设没有必然联系。这里的核心要点是：原假设应该是那个相对保守的假设。前面的案例中只是恰好等号假设都是最保守的假设。但是，这绝不代表着等号假设永远是那个更加保守的原假设。为此，这里特意跟大家分享一个非常有趣而且重要的案例。在这个案例里，等号不出现在原假设中，而是出现在对立假设中。这个案例就是：生物等效性试验（Bioequivalence Study）。

生物等效性检验通常在仿制药（Generic Drug）申请上市时被应用。提到仿制药，你可能会想起2018年大火的国产电影《我不是药神》。在这部根据真实案例改编的电影中，男主角程勇偶然发现了到印度购买白血病仿制药的途径，于是开始为吃不起品牌药（Brand-Name Drug）的白血病患者代购仿制药，拯救了许多买不起品牌药的患者。但这种行为是违法的，程勇最终因此入狱。仿制药并不是假药，而是与品牌药的有效成分、剂量以及制造工艺都完全相同的药。尽管病人服用时的疗效几乎没有区别，但品牌药与仿制药的价格却是天壤之别。电影中的品牌药四万元一瓶，仿制药却只需要五百元一瓶。品牌药之所以昂贵，是因为药企在研发药物的阶段投入了大量的时间和金钱，因此只能通过提高价格来收回前期研发成本，这样药企才有继续研发新药的动力。仿制药则是其他药厂直接使用品牌药的专利，省去了从零开始的大量的研发流程，因此成本较低，价格也相对低廉。当然，合法的仿制药生产必须发生在品牌药专利保护期结束后。

电影中程勇之所以违法，是因为印度仿制药并未在我国合法上市。但仿制药有没有可能合法上市呢？是有可能的。当品牌药的专利过期后，仿制药公司可以提交上市申请。申请通过后，仿制药便可以作为品牌药的替代品投入生产和销售。在美国，FDA（美国食品药品监督管理局）要求仿制药进行生物利用度和生物等效性试验（Bioavailability and Bioequivalence Study），试验结果达标后可以批准仿制药上市。我国药监局也同样规定仿制药需要进行生物等效性试验备案。生物等效性试验的目的是证明仿制药与品牌药是等效的。通常生物等效性试验采用交叉设计（Crossover Design）的方法，受试者会随机地按照一定顺序，先后接受对照治疗（品牌药）和试验治疗（仿制药）。两次治疗中会有一段时间的缓冲期（Washout Period），以排除前一种药物残留的影响。交叉设计试验能够在同一受试者身上使用两种不同的药物，可以减小受试者本身个体差异的影响。试验中会根据药物种类的不同而关注一些不同的指标。体内药物的试验指标是一些常用的药代动力学（Pharmacokinetic）参数，例如药物-时间曲线下的面积（AUC）、峰值浓度（Cmax）等。而对于体外药物，例如鼻腔喷雾等，则采用体外溶出度测定法，检测药物活性成分在作用部位有效的速率和程度。试验需要对比对照治疗和试验治疗在指标上的差异，如果二者完全相等，或是差异控制在可接受的范围内，就可以说明仿制药能够代替品牌药。

假设电影中白血病的仿制药要在我国上市，展开了生物等效性试验。试验中，受试对象按随机顺序先后地使用仿制药和品牌药——可能是先使用仿制药再使用品牌药，也有可能是先使用品牌药再使用仿制药。假设Y是受试对象使用仿制药后血液中的药物动力学指标，Z是受试对象使用品牌药后得到的指标。Y和Z都是随机变量，因为它们因受试对象而异，在同一受试对象上做重复试验得到的结果也可能不同，具有很大的不确定性。需要关注的是Y的均值和Z的均值之间的差异，记。这里最理想的情况是，因此最理想的假设检验问题就是：H0：  v.s.  H1：。然而人们发现，这个假设检验问题中的对立假设太强了，在现实中几乎不可能实现，因为没有任何仿制药能与品牌药完全相同。同时人们注意到，其实一定范围内的误差应该是可以接受的。事实上，只要两种药品疗效的差异很小，也能够用仿制药代替品牌药。因此这个假设检验问题被改为：H0：  v.s.  H1：。这里的由药监局或者FDA确定，表示临床上可以接受的仿制药与品牌药疗效之间的最大差异。这个问题不容易直接作假设检验，于是人们就把这个问题拆分成了两个单边假设检验问题：如果能够同时拒绝这两个假设检验问题，那么就认为仿制药和品牌药是等效的。如何解决这两个单边假设检验问题呢？需要通过生物等效性试验收集一些样本。假设生物等效性试验中共有n个受试者，第i个受试者使用仿制药后试验指标的测量值为，使用品牌药后试验指标的测量值为，i=1,2,…,n。记两种药物试验指标测量值之差为，那么有。所以假设检验问题就转化成了 v.s. 和 v.s. 。根据3.4节中介绍的均值单边假设检验问题的知识，两个假设的检验问题可以很容易地被解决。第一个假设检验问题的检验规则应该是：如果 ，则接受原假设 ；反之则接受对立假设 。第二个假设检验问题的检验规则应该是：如果 ，则接受原假设 ；反之则接受对立假设 。现在回到双单边假设检验问题H0：  v.s.  H1：，拒绝原假设而接受对立假设的条件是，同时拒绝两个单边假设检验问题。因此，生物等效性试验的检验规则就是：试验数据同时满足 和 时，则接受对立假设H1：，即认为仿制药与品牌药等效；反之则接受原假设H0：，认为仿制药与品牌药不等效。

本节主要介绍了假设检验的三种推广——双样本检验、方差检验以及双单边检验。你应该已经对各种各样的假设检验问题的数学推导和检验规则都有了更好的理解。我们可以看到一个现象，那就是所有的假设检验过程都只关注第一类错误的概率。这并不是说人们不关心第二类错误概率。以新药上市为例，原假设是新药无效，对立假设是新药有效。第二类错误对应的现实后果就是错失良药，这显然也不是一个令人开心的结果。现实工作中人们之所以优先关注第一类错误，是因为第一类错误（假药上市）的现实后果太恶劣了。而且很遗憾的是，在给定样本量的情况下是无法同时控制两类错误的概率的。如果要同时控制两类错误的概率，就需要增加样本量，这可能是唯一的途径。那么满足同时控制两类错误概率的最小样本量是多少呢？这也是一个很重要的问题，我们将在下节讨论。

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